Задача 64448

Темы:    [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Авторы: Жуков Г., Косинов Н.

Есть 100 красных, 100 жёлтых и 100 зелёных палочек. Известно, что из любых трёх палочек трёх разных цветов можно составить треугольник.
Докажите, что найдётся такой цвет, что из любых трёх палочек этого цвета можно составить треугольник.

Решение

Пусть к, ж, з – длины самых коротких палочек соответствующего цвета, а К, Ж, З – самых длинных. По условию  к + ж > З,  ж + з > К,  з + к > Ж.  Сложив, получим  2к + 2ж + 2з > К + Ж + З.  Следовательно, удвоенная длина самой короткой палочки какого-то цвета будет больше самой длинной палочки этого же цвета. Тем более, сумма длин каждых двух палочек этого цвета будет больше длины любой палочки этого цвета, что и требовалось.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	35
Дата	2013/2014
вариант
Вариант	осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер	1