Задача 64476

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Стереографическая проекция ] [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Условие

Автор: Ясинский В.

Дана окружность ω и точка A вне её. Через A проведены две прямые, одна из которых пересекает ω в точках B и C, а другая – в точках D и E (D лежит между A и E). Прямая, проходящая через D и параллельная BC, вторично пересекает ω в точке F, а прямая AF – в точке T. Пусть M – точка пересечения прямых ET и BC, а N – точка, симметричная A относительно M. Докажите, что описанная окружность треугольника DEN проходит через середину отрезка BC.

Решение

Спроецируем сначала прямую AB на окружность из точки D, а затем окружность на прямую AB из точки T. В результате A перейдёт в M, бесконечно удалённая точка – в A, а точки B и C останутся на месте. Приравняв двойные отношения, получим     Из этого соотношения и равенства  MC – MB = AC – AB  находим     и     Пусть K – середина BC. Тогда
AN·AK = 2AM·½ (AB + AC) = AB·AC = AD·AE,  то есть точки D, E, K, N лежат на одной окружности.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2013
год
Год	2013
задача
Номер	21