|
|
 |
Условие
Общие перпендикуляры к противоположным сторонам пространственного четырёхугольника взаимно перпендикулярны.
Докажите, что они пересекаются.
Решение
Пусть K, L, M, N – точки на сторонах AB, BC, CD, DA пространственного четырёхугольника ABCD, являющиеся основаниями общих перпендикуляров. При проекции на плоскость, параллельную KM и LN, эти прямые перейдут в перпендикулярные прямые K'M' и L'N'. По теореме о трёх перпендикулярах проекции прямых AB и CD будут перпендикулярны K'M', а проекции прямых BC и AD перпендикулярны L'N'. Следовательно, четырёхугольник ABCD проецируется в прямоугольник A'B'C'D', причём A'K' = D'M', B'L' = A'N'. Значит, AK : KB = DM : MC, BL : LC = AN : ND. Пусть P и Q – соответственно точки пересечения KL и MN с AC. По теореме Менелая Поэтому точки P и Q совпадают, откуда и следует, что точки K, L, M, N лежат в одной плоскости.
