ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 64478
УсловиеВыпуклые многогранники A и B не имеют общих точек. Многогранник A имеет ровно 2012 плоскостей симметрии. Каково наибольшее возможное количество плоскостей симметрии у фигуры, состоящей из A и B, если B имеет Решение а) Оценка. Симметрия либо меняет многогранники A и B местами, либо оставляет каждый из них на месте. В первом случае она меняет местами их центры масс, поэтому плоскость симметрии перпендикулярна отрезку между центрами масс и проходит через его середину. Во втором случае плоскость симметрии фигуры является плоскостью симметрии каждого из многогранников A и B. Отсюда оценка 1 + 2012 = 2013. б) Оценка. Поскольку многогранники A и B имеют разное количество плоскостей симметрии, они не равны и не могут перейти друг в друга при симметрии всей фигуры. Следовательно, эта симметрия оставляет каждый из них на месте и, в частности, является симметрией многогранника A, но он по условию имеет только 2012 плоскостей симметрии. в) Оценка. Поскольку многогранники A и B имеют разное количество осей симметрии, они не равны и не могут перейти друг в друга при симметрии всей фигуры. Значит, эта симметрия оставляет каждый из них на месте. Поэтому она оставляет на месте центр масс каждого из многогранников. Эти центры не совпадают, поскольку многогранники выпуклые (это существенно!). Таким образом, у соединяющей их прямой есть две неподвижные точки. Значит, она и есть ось симметрии. Ответа) 2013, б) 2012, в) 1. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|