|
|
 |
Условие
Известно, что в неравностороннем треугольнике ABC точка, симметричная точке пересечения медиан относительно стороны BC, принадлежит описанной окружности. Докажите, что ∠BAC < 60°.
Решение
Пусть ∠BAC = α, М – точка пересечения медиан треугольника АВС, а точка М' симметрична ей относительно ВС (см. рис.). Тогда
∠BMC = ∠BM'C = 180° – α.
Так как точка М лежит внутри треугольника АВС, то 180° – α > α, то есть α < 90°. Следовательно, центр О описанной окружности Ω треугольника АВС лежит в одной полуплоскости с вершиной А (относительно ВС), поэтому ∠BОC = 2α.
По условию описанная окружность ω треугольника ВМС, симметрична Ω относительно прямой ВС, поэтому ортоцентр Н треугольника ABC лежит на ω (см. задачу 55463). Кроме того, точка М лежит на отрезке ОН (см. задачу 55595). При этом точки О, М и Н попарно различны, так как треугольник АВС – не равносторонний. Следовательно, точка О лежит вне ω.
Тогда ∠BОC < ∠BMC, то есть 2α < 180° – α ⇔
α < 60°.
