Задача 64509
|
|
 |
Условие
В выпуклом 2009-угольнике проведены все диагонали. Прямая пересекает 2009-угольник, но не проходит через его вершины.
Докажите, что прямая пересекает чётное число диагоналей.
Решение
Пусть по одну сторону от прямой находится m, а по другую n вершин 2009-угольника. Тогда прямая пересекает mn отрезков, соединяющих вершины многоугольника. Два из них – стороны, а mn – 2 – диагонали. Поскольку m + n нечётно, mn чётно.
Замечания
3 балла
