Задача 64515

Темы:    [ Системы точек и отрезков (прочее) ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Авторы: Богданов И.И., Гальперин Г.А.

На плоскости даны несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые точки соединены отрезками. Известно, что любая прямая, не проходящая через данные точки, пересекает чётное число отрезков. Докажите, что из каждой точки выходит чётное число отрезков.

Решение

Можно считать, что все точки  A₁, ..., A_k  находятся на разной высоте: чем больше номер, тем точка выше. Проведем горизонтальные прямые  l₁, ..., l_k–1,  разделяющие точки: l_i проходит выше A_i, но ниже A_i+1. Общее количество точек пересечения прямых l_i–1 и l_i с нашими отрезками чётно. При этом на каждом отрезке, не выходящем из A_i, чётное число точек пересечения: 0 или 2, а на каждом отрезке, выходящем из A_i, – ровно одна. Следовательно, количество последних отрезков чётно.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2008/2009
Номер	30
вариант
Вариант	весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер	2