Задача 64625

Темы:    [ Произведения и факториалы ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Храбров А.

Какое из чисел больше:  (100!)!  или  99!^100!·100!^99!?

Решение

  Пусть  a = 99!.  Тогда нам нужно сравнить числа  (100a)!  и  a^100a(100!)^a. Заметим, что
1·2·3·...·a < a^a,   (a + 1)(a + 2)(a + 3)...·2a < (2a)^a,   (2a + 1)(2a + 2)(2a + 3)...·3a < (3a)^a,  ...,  (99a + 1)(99a + 2)(99a + 3)...·100a < (100a)^a.
  Перемножим эти неравенства. Слева получим  (100a)!,  а справа –  a^a(2a)^a(3a)^a...(100a)^a = a^100a(100!)^a.

Ответ

Второе число больше.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2013-2014
этап
	1
Вариант	4
класс
Класс	9
класс
Номер	9.8