Задача 64674

Темы:    [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Решите систему уравнений: .

Решение

  Запишем первые два уравнения в виде  z²(x² + y² – z²) = 3xyz,  x²(y² + z² – x²) = 3xyz.  После вычитания получим
z²y² – x²y² + x⁴ – z⁴ = 0  ⇔  (z² – x²)(y² – z² – x²) = 0  ⇔  y² – z² – x² = 0  или  x² = z².  Первый случай противоречит третьему уравнению системы.
  Итак,  z = ± x.  После подстановки в первые два уравнения, получим  y = ±3,  а третье уравнение примет вид  y(y² – 2x²) = ± 21x².  После подстановки значения y, получим  3(9 – 2x²) = 21x²  ⇔  x² = 1.

Ответ

(1, 3, 1),  (–1, 3, –1),  (1, –3, –1),  (–1, –3, 1).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2013/14
класс
Класс	10
задача
Номер	4.1