|
|
 |
Условие
Выпуклый многоугольник разрезан на выпуклые семиугольники (так, что каждая сторона многоугольника является стороной одного из семиугольников). Докажите, что найдутся четыре соседние вершины многоугольника, принадлежащие одному семиугольнику.
Решение 1
Предположим, что N-угольник разрезан на несколько многоугольников (будем их называть малыми) так, что никакие четыре последовательные вершины не принадлежат одному многоугольнику. Тогда по меньшей мере каждый второй угол N-угольника разрезан одной из линий деления. Поэтому к каждым двум последовательным углам N-угольника прилегает не менее трёх углов малых многоугольников, и следовательно, среднее арифметическое этих прилегающих углов меньше 120°. Среднее арифметическое углов, прилегающих к каждой вершине внутри N-угольника, не больше 120° (равенство будет, только если в вершине сходится ровно три угла). Если же вершина одного малого многоугольника находится на стороне другого (малого или исходного) многоугольника, то среднее значение углов в этой вершине не превышает даже 90°. Отсюда следует, что и в целом среднее значение углов малых многоугольников меньше 120°. Но тогда они не могут все быть семиугольниками.
Решение 2
Предположим, что существует разбиение, в котором никакие три идущие подряд стороны многоугольника не принадлежат одному семиугольнику.
Натянем наш многоугольник на верхнюю полусферу так, чтобы контур многоугольника лежал на экваторе, построим симметричную ей относительно экваториальной плоскости карту на нижней полусфере, а затем все стороны, лежащие на экваторе, сотрём. В результате мы получили карту, в которой все страны имеют не менее 6 рёбер. Тогда Р ≥ 3Г (Γ – число стран, Р – число рёбер, В – число вершин). Так как в каждой вершине сходится не менее трёх рёбер, то Р ≥ 3/2 В. Следовательно, B – P + Γ ≤ 2/3 Р – Р + 1/3 Р = 0, что противоречит формуле Эйлера (см. задачу 60331).
Замечания
Как видно из решения 2, условие "каждая сторона многоугольника является стороной одного из семиугольников" несущественно. Решение 1 использует это условие, но можно обойтись и без него, более аккуратно вычисляя среднее значение углов малых многоугольников.
