|
|
 |
Условие
Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, у которого сумма тупых углов равна 3000°?
Решение
Заметим, что выпуклый многоугольник не может иметь более трёх не тупых углов (если это не прямоугольник). Действительно, если таких углов больше трёх, то внешние углы, смежные с ними, – не острые, а это противоречит тому, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника (взятых по одному при каждой вершине) равна 360°.
Таким образом, сумма углов данного многоугольника равна 3000° + S°, где 0 ≤ S ≤ 270. Пусть у него n сторон, тогда 180(n – 2) = 3000 + S, то есть
n = 2 + (3000 + S) : 180 ⇔ n = 18 + (120 + S) : 180. Учитывая, что n – натуральное число, получим: S = 60; n = 19 или S = 240, n = 20.
19-угольник, у которого один острый угол величиной 60° и 18 тупых углов с заданной суммой, равно как и 20-угольник с тремя острыми углами, сумма которых 240°, и 17 тупых углов с заданной суммой "построить" несложно. Например, в первом случае отложим на окружности последовательно 19 хорд, соответствующих центральному углу 131/3°. Продолжив концы крайних хорд до пересечения, получим 19-угольник, у которого 18 углов равны по 1662/3°.
Ответ
19 или 20.
Замечания
От участников регаты предъявлять примеры многоугольников не требовалось.
