|
|
 |
Условие
а) Сколько осей симметрии может иметь клетчатый многоугольник, то есть многоугольник, стороны которого лежат на линиях листа бумаги в клетку?
б) Сколько осей симметрии может иметь клетчатый многогранник, то есть многогранник, составленный из одинаковых кубиков, примыкающих друг к другу гранями?
Решение
а) Все оси симметрии ограниченной фигуры имеют общую точку, так как композиция симметрий относительно двух параллельных прямых и двукратная композиция симметрий относительно трёх не проходящих через одну точку прямых являются переносами. Кроме того, ось симметрии клетчатого многоугольника параллельна стороне или диагонали клетки, так что осей симметрии не больше 4. При этом, если три из таких прямых являются осями симметрии многоугольника, то их композиция является симметрией относительно четвёртой прямой. Примеры многоугольников, имеющих 0, 1, 2 и 4 оси симметрии, приведены на рисунке.
б) Аналогично а) получаем, что все оси симметрии проходят через одну точку и параллельны либо ребрам составляющих многогранник кубиков, либо диагоналям их граней. Следовательно, осей симметрии не более 9. Пусть прямые l и l1 являются осями симметрии. Если угол между ними не прямой, то прямая l2, симметричная l1 относительно l, также будет осью симметрии. Если же l ⊥ l1, то осью симметрии будет также прямая, перпендикулярная им обеим. Поэтому все оси симметрии, кроме l, можно разбить на пары, то есть их общее количество нечётно. Нетрудно убедиться, что возможными являются все нечётные значения, кроме 7.
Ответ
а) 0, 1, 2 или 4; б) 0, 1, 3, 5 или 9.
