Задача 64703

Темы:    [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

В треугольнике ABC проведены высота AH, биссектриса BL и медиана CM. Известно, что в треугольнике HLM прямая AH является высотой, а BL – биссектрисой. Докажите, что CM является в этом треугольнике медианой.

Решение

Так как  AH ⊥ LM,  то  LM || BC,  то есть LM – средняя линия треугольника. Значит, BL – биссектриса и медиана треугольника ABC, то есть  AB = BC.  Поскольку BL является биссектрисой углов ABC и HLM, точки H и M симметричны относительно неё; значит,  ½ AB = BM = BH = ½ BC,  и высота AH является медианой треугольника ABC. Таким образом,  AC = AB = BC,  треугольник ABC – равносторонний, и из симметрии CM делит HL пополам.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2010
класс
Класс	8
задача
Номер	8.5