Задача 64721

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Средняя линия треугольника ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

Дан треугольник ABC. Обозначим через M середину стороны AC, а через P – середину отрезка CM. Описанная окружность треугольника ABP пересекает сторону BC во внутренней точке Q. Докажите, что  ∠ABM = ∠MQP.

Решение 1

  Проведем через M прямую, параллельную PQ, до пересечения со стороной BC в точке D (см. рис.).

  Отрезок PQ является средней линией треугольника MDC и делит сторону DC пополам. Следовательно, отрезок MQ – средняя линия треугольника ADC, а значит, параллелен AD. Поэтому  ∠ADM = ∠MQP  (как углы с параллельными сторонами).
  Осталось заметить, что  ∠BAM = 180° – ∠BQP = 180° – ∠BDM,  откуда получаем вписанность четырёхугольника ABDM и, как следствие, равенство углов ABM и ADM.

Решение 2

  Так как четырёхугольник ABQP вписан, то  ∠MAB = ∠PQC  (см. рис.). Кроме того,  CQ·CB = CP·CA = 4CP² = CM²

.

  Следовательно, CM является касательной к описанной окружности треугольника BMQ. Значит,  ∠BQM = ∠BMA,
и  ∠ABM = 180° – ∠BAM – ∠BMA = 180° – ∠MQB – ∠PQC = ∠MQP.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2014
Номер	77
класс
Класс	10
задача
Номер	3