Условие
На сторонах AD и CD параллелограмма ABCD с центром O отмечены такие точки P и Q соответственно, что ∠AOP = ∠COQ = ∠ABC.
а) Докажите, что ∠ABP = ∠CBQ.
б) Докажите, что прямые AQ и CP пересекаются на описанной окружности треугольника ABC.
Решение
а) ∠CDA + ∠POC = ∠ABC + ∠POC = ∠AOP + ∠POC = 180°, поэтому точки P, O, C и D лежат на одной окружности (см. рис.). Аналогично точки Q, O, A и D лежат на одной окружности. Значит, CQ·CD = CO·CA = AO·AC = AP·AD, то есть AP : CQ = CD : AD = BA : BC. Следовательно, треугольники BAP и BCQ подобны по равным углам BAP и BCQ и пропорциональным сторонам, и ∠ABP = ∠CBQ.
б) ∠OAQ = ∠ODQ как вписанные, опирающиеся на одну дугу. Аналогично ∠OCP = ∠ODP. Пусть R – точка пересечения AQ и CP. Тогда
∠ABC + ∠ARC = ∠ADC + ∠ARC = ∠ODP + ∠ODQ + ∠ARC = ∠OCP +
∠OAQ + ∠ARC = 180°. Следовательно, точки A, B, C и R лежат на одной окружности.
Замечания
Равенство AP : CQ = BA : BC в п. а) можно доказать и по-другому. Треугольники ABC и POA подобны по двум углам, поэтому AP : AC = AO : BC. Аналогично CQ : AC = CO : BA. Поскольку AO = CO, отсюда следует, что AP : CQ = BA : BC. (Решение предложено Н. Шамаевым.)
