Задача 64738

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Швецов Д.В.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC  (∠ABC = 90°),  касается сторон AB, BC, AC в точках C₁, A₁, B₁ соответственно. Вневписанная окружность касается стороны BC в точке A₂. A₀ – центр окружности, описанной около треугольника A₁A₂B₁; аналогично определяется точка C₀. Найдите угол A₀BC₀.

Решение

Поскольку точки A₁ и A₂ симметричны относительно середины отрезка BC (см. задачу 55404), то  A₀B = A₀C.  С другой стороны, A₀ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку A₁B₁, который совпадает с биссектрисой угла C. Следовательно,  ∠CBA₀ = ∠A₀CB = ½ ∠C.  Аналогично
∠ABC₀ = ½ ∠A, и, значит,  ∠A₀BC₀ = ∠B – ½ (∠C + ∠A) = 45°.

Ответ

45°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2010
класс
Класс	9
задача
Номер	9.5