Задача 64743

Темы:    [ Взаимное расположение двух окружностей ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Кожевников П.А.

Каждая из двух равных окружностей ω₁ и ω₂ проходит через центр другой. Треугольник ABC вписан в ω₁, а прямые AC, BC касаются ω₂.
Докажите, что  cos∠A + cos∠B = 1.

Решение

  Пусть R – радиус окружностей, O – центр ω₂, P – точка на ω₁, диаметрально противоположная к O, а A' – точка касания AC и ω₂. Так как CO – биссектриса угла ACB, точки A и B симметричны относительно прямой OP.
  Заменим сумму косинусов произведением:  cos∠A + cos∠B = 2 sin(½ ∠C) cos(½ (∠A – ∠B)).  Из отмеченной выше симметрии следует, что
½ |∠A – ∠B| = ∠OCP,  то есть  OP cos(½ (∠A – ∠B)) = CO.  Поскольку  ½ ∠C = ∠OCA = ∠OCA',  то  CO sin (½ ∠C) = OA' = R = ^OP/₂.  Итак,     что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2010
класс
Класс	10
задача
Номер	10.2