|
|
 |
Условие
В треугольнике ABC серединные перпендикуляры к сторонам AB и BC пересекают сторону AC в точках P и Q соответственно, причём точка P лежит на отрезке AQ. Докажите, что описанные окружности треугольников PBC и QBA пересекаются на биссектрисе угла PBQ.
Решение
Пусть X – точка пересечения описанных окружностей треугольников PBC и QBA, а ∠QBC = ∠BCQ = α (см. рис.). Тогда ∠AQB = 2α. Из равенства вписанных углов, опирающихся на одну дугу, получим, что ∠PXB = ∠PCB = α и ∠AXB = ∠AQB = 2α. Следовательно, XP – биссектриса угла X в треугольнике AXB.
Докажем, что точки X, P и K лежат на одной прямой.
Первый способ. Серединный перпендикуляр KP к стороне AB и биссектриса XP угла X кроме общей точки P имеют ещё одну общую точку: середину дуги AB описанной окружности треугольника AXB. Следовательно, эти прямые совпадают.
Второй способ. Рассмотрим отдельно треугольник AXB (см. рис.).
В треугольниках AXP и BXP равны две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон. Следовательно, либо эти треугольники равны, либо ∠PAX + ∠PBX = 180°. Второй случай невозможен, поскольку тогда сумма углов треугольника AXB будет больше 180°. Следовательно, AX = XB, то есть X лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB.
Аналогично можно доказать, что точки X, Q и L лежат на одной прямой.
Из доказанного следует, что AX = XB = XC, то есть ∠PBX = ∠XCA = ∠XAC = ∠QBX, поэтому BX – биссектриса угла PBQ.
Замечания
Заметим, что X – центр описанной окружности треугольника ABC, а также центр вневписанной окружности треугольника PBQ. Каждый из этих фактов даёт другой способ решения: можно определить точку X одни из указанных способов и затем доказать, что она принадлежит обеим окружностям из условия.
