ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64754
Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы:
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой AB взята такая точка M, что угол MAB на 15° больше угла MAC, а угол MCB на 15° больше угла MBC. Найдите угол BMC.


Решение

  Пусть точка X пересечения AM и высоты CH треугольника ABC лежит на отрезке AM (см. рис.; в конце решения мы покажем, что другой случай невозможен).

  Из условия следует, что  ∠BAX = 30°.  Поэтому  ∠CXM = ∠AXH = 90° – ∠XAH = 60°.  Поскольку CH также является медианой треугольника ABC, то треугольник AXB – равнобедренный, то есть  ∠BXH = 60°.  Следовательно, и  ∠BXM = 60°.
  Рассмотрим отдельно треугольник CXB. В нём  ∠XCB = 45°,  ∠XBC = 15°,  ∠CXB = 120°  и XM – биссектриса угла CXB (см. рис.).

  Обозначим  ∠MBC = α,  тогда  ∠MCB = 15° + α.  Выберем на отрезке XB такую точку Y, что  ∠YCB = 15°,  тогда  ∠XCY = 30°.  Но и  ∠XYC = 30° (как внешний угол треугольника CYB), следовательно, треугольник CXY – равнобедренный.
  Поскольку XM – биссектриса равнобедренного треугольника CXY, то она также является медианой и высотой, следовательно, CMY – также равнобедренный, откуда  ∠MYC = ∠MCY = α.  С другой стороны,  ∠MBC = α,  то есть четырёхугольник CMYB – вписанный. Тогда  ∠MBY = ∠MCY = α,  откуда  2α = 15°,  α = 7,5°  и  ∠CMB = 150°.

  Докажем, что точка X лежит на отрезке AM. Пусть это не так (см. рис.).

  Снова рассмотрим треугольник AXB отдельно и проведем отрезок CY так, что  ∠YCB = 15°.  По условию,  ∠MCB = 15° + ∠MBC.  Так как
XCB = 30° + ∠XBC,  то чтобы выполнялось условие, угол MBX должен быть на 15° больше угла MCX. Треугольник CMY – равнобедренный, следовательно,  ∠MCX = ∠MYX > ∠MBY,  то есть такое расположение точек невозможно.


Ответ

150°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 12 (2014 год)
Дата 2014-04-12
класс
Класс 8-9 класс
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .