Задача 64765
|
|
 |
Условие
К натуральному числу N прибавили наибольший его делитель, меньший N, и получили степень десятки. Найдите все такие N.
Решение
Пусть m – наибольший делитель числа N, меньший, чем N. Тогда n = mp, где p – наименьший простой делитель числа N. Имеем
m(p + 1) = N + m = 10k. Число в правой части не делится на 3, поэтому p > 2. Отсюда следует, что N нечётно, а тогда и m нечётно. Поскольку 10k делится на m, m = 5s.
Если m = 1, то N = p = 10k – 1, что невозможно, так как 10k – 1 делится на 9, то есть не является простым. Значит, s ≥ 1, число N кратно 5, и потому p ≤ 5.
Если p = 3, то 4·5s = 10k, откуда k = 2, m = 25 и N = 75.
Если же p = 5, то p + 1 = 6, и число 10k делится на 3, что невозможно.
Ответ
75.
