|
|
 |
Условие
Дана функция f, определённая на множестве действительных чисел и принимающая действительные значения. Известно, что для любых x и y, таких, что x > y, верно неравенство (f(x))² ≤ f(y). Докажите, что множество значений функции содержится в промежутке [0,1].
Решение
По условию f(y) ≥ (f(y+1))² ≥ 0 для любого y, поэтому все значения функции неотрицательны.
Пусть теперь f(x0) = 1 + a > 1 для некоторого x0. Докажем индукцией по n, что f(y) > 1+ 2na для любого y < x0.
База (n = 1). f(y) ≥ (f(x0))² = 1 + 2a + a² > 1 + 2a.
Шаг индукции. y < ½ (x0 + y) < x0. По предположению индукции f(½ (x0 + y)) > 1 + 2na. Поэтому f(y) ≥ (f(½ (x0 + y)))² = 1 + 2n+1a + (2na)² > 1 + 2n+1a.
Итак, для любого фиксированного y < x0 имеем f(y) > 1 + 2na при любом натуральном n. Но это невозможно, так как 2na > (f(y) при достаточно больших n. Противоречие.
