|
|
 |
Условие
Натуральное число n назовём хорошим, если каждый его натуральный делитель, увеличенный на 1, является делителем числа n + 1.
Найдите все хорошие натуральные числа.
Решение
Ясно, что n = 1 удовлетворяет условию. Также ему удовлетворяют все нечётные простые числа: делители такого числа p, увеличенные на 1, есть 2 и
p + 1; оба они делят p + 1.
С другой стороны, у любого числа n, удовлетворяющего условию, есть делитель 1; значит, n + 1 делится на 1 + 1, то есть n нечётно.
Предположим, что какое-то составное n = ab, где a ≥ b ≥ 2, удовлетворяет условию. Тогда число n + 1 делится на a + 1 и число n + b = (a + 1)b также делится на a + 1. Значит, и число b – 1 = (n + b) – (n + 1) также делится на a + 1. Так как b – 1 > 0, получаем, что b – 1 ≥ a + 1. Но это противоречит неравенству b ≤ a.
Ответ
Единица и все нечётные простые числа.
