Задача 64801

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Ясинский В.

Две окружности Ω₁ и Ω₂ с центрами O₁ и O₂ касаются внешним образом в точке O. Точки X и Y лежат на Ω₁ и Ω₂ соответственно так, что лучи O₁X и O₂Y одинаково направлены. Из точки X проведены касательные к Ω₂, а из точки Y – к Ω₁. Докажите, что эти четыре прямые касаются одной окружности, проходящей через точку O.

Решение

  Обозначим через S точку пересечения XO₁ и YO₁ (см. рис.). Пусть r₁ и r₂ – радиусы соответствующих окружностей. Тогда    .   Значит,  SO || O₂Y  и    .

  Пусть XZ – одна из касательных, проведённых из точки X ко второй окружности, а Z' – проекция S на XZ. Тогда    .
  Аналогично доказывается, что расстояние от S до остальных касательных также равно SO, то есть S и есть центр требуемой окружности.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2014
класс
Класс	8
задача
Номер	8.6