|
|
 |
Условие
Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, M, N – середины дуг ABC и BAC описанной окружности.
Докажите, что точки M, I, N лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда AC + BC = 3AB.
Решение 1
Обозначим через A1, B1 и C1 середины дуг BC, CA и AB, не содержащих других вершин треугольника ABC (рис. слева), через A0 и B0 – точки касания вписанной окружности со сторонами BC и CA соответственно, а через C2 – точку пересечения A1B1 и CC1.
Пусть MN проходит через I. Так как A1N и B1M – диаметры, то хорды A1B1 и MN равны и параллельны. Ввиду очевидного равенства треугольников A1CB1 и A1IB1 прямая A1B1 – серединный перпендикуляр к отрезку CI. Из симметрии относительно серединного перпендикуляра к CC1 имеем
CC2 = C1I, кроме того, из прямоугольного треугольника CA0I получим, что C2A0 = C2C. По теореме о трезубце (см. задачу 53119)
C2A0 = C2C = IC1 = C1A = C1B. Следовательно, треугольники C2CA0 и C1AB равны и AB = CA0. Отсюда и получаем равенство
AC + CB = AB0 + B0C + CA0 + A0B = 2AB + AB0 + A0B = 3AB.
В обратную сторону доказательство аналогично.
Решение 2
Пусть J – центр вневписанной окружности, касающейся стороны AB (рис. справа). Заметим, что точки M и N являются центрами описанных окружностей треугольников ACJ и BCJ (этот вариант теоремы о трезубце также доказывается подсчётом углов). Следовательно, MN – серединный перпендикуляр к отрезку CJ, то есть I – середина CJ. Сделав гомотетию с центром C и коэффициентом ½, получим, что вписанная окружность касается средней линии треугольника ABC, параллельной AB. Условие описанности трапеции, образованной этой средней линией и сторонами, равносильно требуемому равенству.
Обратное утверждение доказывается аналогично.
