Условие
Имеется бесконечная арифметическая прогрессия натуральных чисел с ненулевой разностью. Из каждого её члена извлекли квадратный корень и, если получилось нецелое число, округлили до ближайшего целого. Может ли быть, что все округления были в одну сторону?
Решение
Число 
округляется в меньшую сторону до числа n, когда 
то есть когда n² < a < n² + n + ¼. Таким образом, корень из натурального числа a округляется "вниз", если a попадает на какой-то отрезок вида [n² + 1, n² + n] (на рисунке показаны такие отрезки для
n = 2, 3, 4, 5).
Длина отрезка [
n² + 1,
n² +
n] все время растет (она равна
n – 1) и начиная с какого-то
n становится больше разности нашей прогрессии. Значит, какой-то её член на этот отрезок точно попадёт ("делая шаги длиной 1 м лужу длиной 10 м не перешагнуть"). Соответствующее число будет округлено "вниз". Аналогично доказывается, что хотя бы одно число будет округлено вверх.
Ответ
Не может.
Источники и прецеденты использования
