Задача 64868

Темы:    [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

В остроугольном треугольнике ABC проведены медиана AM, биссектриса AL и высота AH (H лежит между L и B). При этом  ML = LH = HB.
Найдите отношение сторон треугольника ABC.

Решение

По свойству биссектрисы  AC : AB = LC : LB = 2 : 1.  По теореме Пифагора  AC² – AH² = AB² – CH², или  4AB² – 25BH² = AB² – BH²,  откуда     и   .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2014
тур
задача
Номер	5