Задача 64949

Темы:    [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Квадратные уравнения и системы уравнений ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Про коэффициенты a, b, c и d двух квадратных трёхчленов  x² + bx + c  и  x² + ax + d  известно, что 0 < a < b < c < d.
Могут ли эти трёхчлены иметь общий корень?

Решение

  Поскольку коэффициенты обоих трёхчленов положительны, то их корни (если они есть) отрицательны.
  Общий корень x₀ этих трёхчленов являентся корнем их разности, то есть  x₀(b – a) = d – c.  Из условия следует, что  d – c > 0  и  b – a > 0,  то есть
x₀ > 0.  Противоречие.

Ответ

Не могут.

Замечания

Условие положительности коэффициентов существенно. Например, трёхчлены:  x² – 4x + 3  и  x² – 5x + 4  имеют общий корень 1, при этом
–5 < –4 < 3 < 4.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2014
класс
Класс	9
задача
Номер	9.2