Задача 64951

Темы:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

Сумма десяти натуральных чисел равна 1001. Какое наибольшее значение может принимать НОД (наибольший общий делитель) этих чисел?

Решение

  Пример. Рассмотрим девять чисел, равных 91, и число 182. Их сумма равна 1001.

  Оценка. Докажем, что значение, большее 91, НОД принимать не может. Заметим, что  1001 = 7·11·13.  Так как каждое слагаемое в данной сумме делится на НОД, то НОД является делителем числа 1001. С другой стороны, меньшее слагаемое в сумме (а значит и НОД) не больше, чем  1001 : 10,  то есть не больше 101. Осталось заметить, что 91 – наибольший из делителей числа 1001, удовлетворяющий этому условию.

Ответ

91.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2014
класс
Класс	9
задача
Номер	9.4