Задача 64966

Темы:    [ Средняя линия трапеции ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Блинков А.Д.

В трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии. Докажите, что трапеция равнобокая.

Решение

Пусть AD, BC – основания трапеции. Проведём через вершину C прямую, параллельную диагонали BD. Пусть E – точка пересечения этой прямой с продолжением основания AD. Тогда треугольник ACE – прямоугольный и, значит, его медиана, проведённая из вершины C, равна половине гипотенузы, то есть средней линии трапеции. Из условия следует, что высота этого треугольника совпадает с медианой, поэтому диагонали трапеции равны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2011
класс
Класс	8
задача
Номер	8.1