Задача 64974

Темы:    [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Касающиеся окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Кунгожин М.

Высоты AA₁ и BB₁ треугольника ABC пересекаются в точке H. Прямая CH пересекает полуокружность с диаметром AB, проходящую через точки A₁ и B₁, в точке D. Отрезки AD и BB₁ пересекаются в точке M, BD и AA₁ – в точке N. Докажите, что описанные окружности треугольников B₁DM и A₁DN касаются.

Решение

Угол между касательной к описанной окружности треугольника B₁DM в точке D и прямой AD равен  ∠MB₁D = ∠BB₁D = ∠BAD  (см. рис.). Аналогично угол между касательной к описанной окружности треугольника A₁DN и BD равен углу ABD. Поскольку  ∠BAD + ∠ABD = 90° = ∠ADB,  касательные к обеим окружностям совпадают.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2011
класс
Класс	9
задача
Номер	9.1