Задача 64978

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

Из высот треугольника можно составить треугольник. Верно ли, что из его биссектрис также можно составить треугольник?

Решение

  Возьмём треугольник со сторонами  a = 2,  b = 3  и  c < 5.  Для отношений высот имеем  h_b : h_a = 2 : 3,  ²/₅ < h_c : h_a < ½.  Следовательно,
h_b + h_c > h_a > h_b > h_c  и из высот всегда можно составить треугольник.
  С другой стороны, при  c → 5  биссектриса l_c стремится к нулю, l_c – к  3 + ³/₈·2 = 3³/₄,  а  l_b – к  2 + ²/₇·3 = 2⁶/₇.  Значит, при c, близком к 5,
l_a – l_b > l_c,  и треугольник из биссектрис составить нельзя.

Ответ

Неверно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2011
класс
Класс	9
задача
Номер	9.5