Задача 65030
|
|
 |
Условие
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA', BB', CC'. Известно, что в треугольнике A'B'C' эти прямые также являются биссектрисами.
Верно ли, что треугольник ABC равносторонний?
Решение
Из условия следует, что в четырёхугольнике A'C'B'C диагональ CC' является биссектрисой углов C и C', а, значит, осью симметрии. Поэтому
A'C = B'C, A'C' = B'C', ∠CB'A' = ∠CA'B' и ∠AB'C' = ∠BA'C'. Аналогично ∠BC'A' = ∠BA'C' = ∠AB'C' = ∠AC'B'. Следовательно, треугольники AB'C' и BA'C' равны, то есть AB' = BA' и AC = BC.
Равенство AB = BC доказывается аналогично.
Ответ
Верно.
