Задача 65086

Темы:    [ Трапеции (прочее) ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Женодаров Р.Г.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD  AD = АВ + CD.  Оказалось, что биссектриса угла А проходит через середину стороны ВС.
Докажите, что биссектриса угла D также проходит через середину ВС.

Решение

Пусть E – середина BC. Отметим на стороне AD такую точку F, что  AB = AF;  тогда  FD = CD.  Треугольники AEB и AEF равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,  EF = BE = EC.  Следовательно, треугольники DEF и DEC равны по трём сторонам, откуда  ∠EDF = ∠EDC,  и точка E лежит на биссектрисе угла D.

Замечания

Несложно показать, что  AB || CD.  Действительно,  ∠ABE = ∠AFE = 180° – ∠DFE = 180° – ∠DCE.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
тур
Номер	3 (2011 год)
тур
задача
Номер	3