Задача 65091

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Средняя линия треугольника ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Берлов С.Л.

В треугольнике ABC точки М и N – середины сторон АС и АВ соответственно. На медиане ВМ выбрана точка Р, не лежащая на CN. Оказалось, что
PC = 2PN.  Докажите, что  АР = ВС.

Решение 1

Построим параллелограмм AKBP. Его диагонали делятся точкой пересечения пополам, то есть пересекаются в точке N и  PK = 2PN = PC.  Пусть прямые MB и CK пересекаются в точке T. Поскольку  MT || AK,  то MT – средняя линия треугольника AKC, откуда  KT = TC.  Значит, PT – медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника KPC, откуда  PT ⊥ CK.  Следовательно, BT – медиана и высота треугольника BKC, значит,  AP = BK = BC.

Решение 2

Обозначим через G точку пересечения медиан треугольника ABC. Тогда  CG : GN = 2 = CP : PN.  Значит, PG – биссектриса угла CPN. Следовательно,
∠BPN = ∠BPC.  Пусть X – середина PC. Тогда треугольники NPM и XPM равны по двум сторонам и углу между ними. Равные отрезки XM и NM являются средними линиями в треугольниках APC и ABC, значит,  AP = 2XM = 2NM = BC.

Решение 3

Рассмотрим такую точку Q, что P – середина AQ. Тогда MP – средняя линия треугольника CAQ, NP – средняя линия треугольника BAQ, значит, BQCP – равнобочная трапеция (BQ параллельна NP, поэтому не параллельна PC). Её диагонали BC и PQ равны, а  PQ = AP.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
тур
Номер	3 (2011 год)
тур
задача
Номер	8