Задача 65095

Темы:    [ Четырехугольник (неравенства) ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Берлов С.Л.

Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD, в котором  AB = CD,  выбрана точка P таким образом, что сумма углов PBA и PCD равна 180°.
Докажите, что  PB + PC < AD.

Решение

  Построим на продолжении луча PC за точку C точку K таким образом, что CK = BP. Треугольники ABP и DCK равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому  DK = AP  и  ∠BAP = ∠CDK.
  Построим параллелограмм PKDL. Так как  ∠ABC + ∠BCD > 180°,  то  ∠BAD + ∠ADC < 180°,  откуда
∠APD = 180° – ∠PAD – ∠PDA > (∠BAD – ∠PAD) + (∠ADC – ∠PDA) = ∠BAP + ∠PDC = ∠PDK – ∠DPL.  Следовательно, луч PL пойдёт внутрь угла APD. Но  AP = DK = LP,  поэтому точка D будет с той же стороны от серединного перпендикуляра к AL, что и точка L. Поэтому
AD > DL = PK = PC + PB.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
тур
Номер	3 (2011 год)
тур
задача
Номер	4