Задача 65117

Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Условие

Автор: Храбров А.

Числа a, b, c и d таковы, что  a² + b² + c² + d² = 4.  Докажите, что  (2 + a)(2 + b) ≥ cd.

Решение

0 ≤ (2 + a + b)² = 4 + 4(a + b) + (a + b)² = 8 + 4a + 4b + 2ab + a² + b² – 4 = 2(2 + a)(2 + b) – c² – d² ≤ 2(2 + a)(2 + b) – 2cd,  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2014/2015
этап
Вариант	4
класс
Класс	9
задача
Номер	9.7