Задача 65127

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Автор: Якубов А.

Продолжения медиан AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекают его описанную окружность в точках A₀, B₀ и C₀ соответственно. Оказалось, что площади треугольников ABC₀, AB₀C и A₀BC равны. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

Решение

  Обозначим через M точку пересечения медиан треугольника ABC. Очевидно,  S_AMB = S_AMC;  из условия получаем, что
  Отсюда  C₁B₁ || C₀B₀ || BC.  Поскольку четырёхугольник BCB₀C₀ вписан, он является равнобокой трапецией или прямоугольником; в любом случае,  BM = MC,  то есть треугольник BMC – равнобедренный, и его медиана MA₁ является и высотой. Значит, и в треугольнике ABC медиана AA₁ является высотой, то есть  AB = AC.  Равенство  AB = BC  доказывается аналогично.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2014/2015
этап
Вариант	4
класс
Класс	11
задача
Номер	11.3