|
|
 |
Условие
Пусть ABCD – трапеция, в которой углы A и B прямые,
AB = AD, CD = BC + AD, BC < AD.
Докажите, что угол ADC в два раза больше угла ABE, где E – середина AD.
Решение 1
Пусть K – такая точка на стороне CD, что CK = CB, M – точка пересечения AB с перпендикуляром, восставленным из точки K к прямой CD. Тогда прямоугольные треугольники BCM и KCM равны по катету и гипотенузе, то есть BM = MK, а CM – биссектриса угла C. Кроме того, из условия следует, что KD = AD, откуда аналогично AM = MK, а DM – биссектриса угла D. Поэтому AM = ½ AB = AE, и, значит, равны треугольники ABE и ADM. Следовательно, ∠ADC = 2∠ADM = 2∠ABE (см. рис.).
Решение 2
Отложим на продолжении DA за точку A отрезок AF = BC, тогда DF = DC. Пусть M –
точка пересечения AB и CF, то есть середина AB. Прямоугольные треугольники ABE и ADM равны, DM
– медиана равнобедренного треугольника CDF, поэтому она – биссектриса угла CDA, то есть
½ ∠CDA = ∠ABE.
