|
|
 |
Условие
Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны. Точки A', B', C', D' – центры описанных окружностей треугольников ABD, BCA, CDB, DAC соответственно. Докажите, что прямые AA', BB', CC', DD' пересекаются в одной точке.
Решение
Согласно задаче 57028 проекции точки O пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD на его стороны лежат на одной окружности.
Прямая AC является высотой треугольника DAB, прямая AA' симметрична ей относительно биссектрисы угла A. Аналогичные утверждения выполнены для остальных вершин. По лемме из решения задачи 65367 четыре такие прямые проходят через одну точку.
Замечания
Можно показать, что, если три из четырёх прямых AA', BB', CC', DD' пересекаются в одной точке, то четырёхугольник ABCD либо вписанный, либо его диагонали перпендикулярны. В обоих случаях четвёртая прямая проходит через ту же точку.
