Задача 65374

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Точка Лемуана ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Креков Д.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC высоты AA' и BB' пересекаются в точке H, а медианы треугольника AHB пересекаются в точке M. Прямая CM делит отрезок A'B' пополам. Найдите угол C.

Решение

Пусть C₀ – середина AB, а H' – точка, симметричная H относительно C₀ (как известно, H' – точка описанной окружности треугольника ABC, диаметрально противоположная C). Медианы CC₀ и CM подобных треугольников ABC и A'B'C симметричны относительно биссектрисы угла C. Также симметричны относительно этой биссектрисы высота CH и диаметр описанной окружности CH'. Следовательно,  ∠H'CC₀ = ∠MCH,  а значит, CM – симедиана треугольника CHH' (см. рис.). Отсюда   (^CH'/_CH)² = ^H'M/_MH = 2  (см. задачу 56978), а поскольку  CH = CH' cos∠C,  то  ∠C = 45°.

Ответ

45°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2015
класс
Класс	9
задача
Номер	9.7