|
|
 |
Условие
Четырёхугольная пирамида SABCD вписана в сферу. Из вершин A, B, C, D опущены перпендикуляры AA1, BB1, CC1, DD1 на прямые SC, SD, SA, SB соответственно. Оказалось, что точки S, A1, B1, C1, D1 различны и лежат на одной сфере. Докажите, что точки A1, B1, C1, D1 лежат в одной плоскости.
Решение
Так как AA1 и CC1 – высоты треугольника SAC, точки A, C, A1 и C1 лежат на одной окружности, то есть SC·SA1 = SA·SC1. Значит, существует инверсия с центром S, переводящая A1 в C, а C1 в A. Так как SB·SD1 = SD·SB1, точки B1 и D1 при этой инверсии перейдут в точки B2 и D2, лежащие на лучах SD и SB соответственно, причём B2D2 || BD.
С другой стороны, точки A, C, B2, D2 должны лежать в одной плоскости (как образы точек A1, B1, C1, D1, лежащих на сфере, содержащей S). Но, если прямая B2D2 не лежит в плоскости ABCD, то она скрещивается с AC. Значит, описанная ситуация возможна лишь при B2 = B и D2 = D. Следовательно, точки A1, B1, C1, D1 лежат в плоскости, являющейся образом сферы SABCD.
