Задача 65383

Темы:    [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Доказательство от противного ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Автор: Артемьев М.

Можно ли разрезать какой-нибудь прямоугольник на правильный шестиугольник со стороной 1 и несколько равных прямоугольных треугольников с катетами 1 и ?

Решение

  Предположим, что это возможно. Заметим, что площадь S каждого треугольника разбиения равна    а площадь шестиугольника равна 3S. Каждая сторона прямоугольника разбивается на отрезки длины 1, 2 и , то есть эти стороны равны    и    при целых неотрицательных a, b, c, d. Значит, площадь прямоугольника равна  
  С другой стороны, эта площадь кратна S, что возможно лишь при  ac + 3bd = 0,  откуда  ac = bd = 0.

  Отсюда следует, что одна сторона прямоугольника (скажем, вертикальная) – целая, а другая (горизонтальная) – целое кратное . Значит, его площадь кратна 2S. Поскольку площадь шестиугольника равна 3S, число треугольников в разбиении нечётно.
  Каждый (непродолжаемый) отрезок разбиения, лежащий внутри прямоугольника, покрыт отрезками целых длин и отрезками длины с обеих сторон. Поскольку представление его длины в виде    единственно, к нему примыкает чётное число отрезков длины . К вертикальным сторонам прямоугольника таких отрезков не прилегает, а горизонтальные стороны из них состоят, так что к горизонтальным сторонам таких отрезков прилегает поровну. Значит, общее число таких отрезков чётно, а в каждом треугольнике ровно по одному такому отрезку. Противоречие.

Ответ

Нельзя.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2015
задача
Класс	10
задача
Номер	10.8