Задача 65426

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Внутри параллелограмма ABCD выбрана точка Р так, что  ∠АРВ + ∠СРD = 180°.  Докажите, что  ∠РВC = ∠РDC.

Решение

  Построим параллелограмм BCQP (см. рис.).  ∠DCQ = ∠АВP  (углы с сонаправленными сторонами). Значит, равны треугольники CDQ и BAP. Следовательно,  ∠CPD + ∠DQC = ∠CPD + ∠АРВ = 180°,   то есть четырёхугольник CPDQ – вписанный.
  Вписанные углы РDC и РQС равны. Значит,  ∠РBC = ∠РQC = ∠РDC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2015/16
класс
Класс	9
задача
Номер	9.3.2