Задача 65429

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Вписанная окружность прямоугольного треугольника АВС (угол С – прямой) касается сторон АВ, ВС и СА в точках С₁, А₁, В₁ соответственно. Высоты треугольника А₁В₁С₁ пересекаются в точке D. Найдите расстояние между точками C и D, если длины катетов треугольника АВС равны 3 и 4.

Решение

  Пусть I – центр вписанной окружности треугольника АВС. Тогда А₁IВ₁С – квадрат (см. рис.). Заметим, что для треугольника А₁В₁С₁ эта окружность является описанной. Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ.  IС ⊥ А₁В₁  и  C₁D ⊥ А₁В₁,  поэтому  IС || C₁D.  Кроме того,  IС = C₁D,  так как в любом треугольнике расстояние от центра описанной окружности до середины стороны в два раза меньше, чем расстояние от противолежащей вершины до ортоцентра треугольника. Следовательно, CDC₁I – параллелограмм и  CD = IC₁ = ½ (AC + BC – AB) = 1  (см. задачу 56847).

  Второй способ. По теореме об угле между касательной и хордой  ∠B₁С₁А₁ =∠CB₁А₁ = 45°  (рис. слева).

             

  Пусть B₁F и A₁E – высоты треугольника А₁В₁С₁. Из четырёхугольника DEC₁F найдём, что  ∠EDF = 135°.
  Рассмотрим окружность ω с центром С и радиусом  CB₁ = CA₁  и произвольную точку K на большей дуге B₁А₁ этой окружности. Тогда  ∠B₁KА₁ = 45°.  Значит,  ∠B₁KА₁ + ∠B₁DА₁ = 180°.  Следовательно, точка D лежит на ω, то есть  CD = СB.  Дальнейшие вычисления приведены выше.

Ответ

1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2015/16
класс
Класс	9
задача
Номер	9.4.2