|
|
 |
Условие
Решите в натуральных числах уравнение: x³ + y³ + 1 = 3xy.
Решение
Первый способ. Поскольку x > 0 и y > 0, то согласно неравенству Коши ⇔
x³ + y³ + 1 ≥ 3xy, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда x = y = 1.
Второй способ. Если перенести 3xy в левую часть и заменить 1 на z, то уравнение примет вид x³ + y³ + z³ – 3xyz = 0. Согласно задаче 61105 г) левая часть равна (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – xz – yz).
Так как x, y и z – натуральные числа, то нулю может быть равен только второй множитель.
x² + y² + z² – xy – xz – yz = 0 ⇔ 2x² + 2y² + 2z² – 2xy – 2xz – 2yz = 0 ⇔ (x – y)² + (y – z)² + (z – x)² = 0. Значит, x = y = z = 1.
Третий способ. Уравнение можно записать в виде
(x + y)((x + y)² – 3xy) + 1 = 3xy ⇔ ((x + y)³ + 1) – 3xy(x + y) – 3xy = 0 ⇔ (x + y + 1)((x + y)² – (x + y) + 1 – 3xy) = 0.
Так как х и у – натуральные числа, то x + y + 1 > 0, следовательно, (x + y)²
– (x + y) + 1 – 3xy = 0.
Заметим, что (x + y)² ≥ 4ху, поэтому 4ху – (x + y) + 1 – 3xy ≤ 0 ⇔ ху – x – y + 1 ≤ 0 ⇔ (x – 1)(y – 1) ≤ 0. Для натуральных х и у полученное неравенство выполняется тогда и только тогда, когда х = 1 или у = 1.
Так как исходное уравнение симметрично относительно х и y, то при подстановке в него х = 1 получим, что y = 1.
Четвёртый способ. Так как исходное уравнение симметрично относительно х и y, то достаточно рассмотреть случай х ≥ y.
Запишем уравнение в виде (x³ – 3xy) + (y³ + 1) = 0. Так как y
– натуральное число, то y³ + 1 > 0. Значит, x³ – 3xy = x(x² – 3y) < 0. Следовательно,
x² – 3y < 0 (x – натуральное). Учитывая, что х ≥ y, то есть –3x ≤ –3y, получим: x² – 3x < 0. Таким образом, x < 3.
Это означает, что достаточно проверить три случая:
1) x = y = 2 – не является решением;
2) x = 2, y = 1 – не является решением;
3) x = y = 1 – является решением.
Ответ
(1, 1).
