Условие
Ваня задумал два положительных числа x и y. Он записал числа x + y, x – y, xy и x/y и показал их Пете, но не сказал, какое число какой операцией получено. Докажите, что Петя сможет однозначно восстановить x и y.
Решение
Заметим, что 
С помощью перебора найдём на доске пару чисел a < b, чьё среднее арифметическое равно среднему геометрическому оставшейся пары чисел c и d. Ниже мы докажем, что такое разбиение единственно (с точностью до перестановки равных чисел), поэтому a = x – y, b = x + y, откуда x = ½ (a + b), y = ½ (b – a).
Докажем единственность. Если в равенстве 
поменять местами два неравных числа из разных частей, то равенство нарушится: ведь одна из частей увеличится, а другая – уменьшится. Поменять пары целиком тоже нельзя: отрицательное число не может стоять под корнем, а если все числа неотрицательны, то 
и равенство достигается, только когда все четыре числа равны, что невозможно:
x + y > x – y.
Замечания
Баллы: 8-9 кл. – 6, 10-11 кл. – 5.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
Турнир |
|
Номер |
26 |
|
Дата |
2004/2005 |
|
вариант |
|
Вариант |
осенний тур, основной вариант, 8-9 класс |
|
задача |
|
Номер |
4 |
|
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
Турнир |
|
Номер |
26 |
|
Дата |
2004/2005 |
|
вариант |
|
Вариант |
осенний тур, основной вариант, 10-11 класс |
|
задача |
|
Номер |
3 |
