|
|
 |
Условие
На координатной плоскости нарисованы четыре графика функций вида y = x² + ax + b, где a, b – числовые коэффициенты. Известно, что есть ровно четыре точки пересечения, причём в каждой пересекаются ровно два графика. Докажите, что сумма наибольшей и наименьшей из абсцисс точек пересечения равна сумме двух других абсцисс.
Решение
Абсциссы точек пересечения – это корни уравнений вида x² + ax + b = x² + cx + d, равносильных уравнениям ax + b = cx + d. Заменив каждую параболу вида y = x² + ax + b на прямую y = ax + b, мы не только сохраним абсциссы точек пересечения, но и не изменим их количество (у точек с одинаковыми абсциссами ординаты уменьшатся одинаково – на x², – и разные точки склеиться не могут). Тем самым мы свели задачу к аналогичной задаче о четырёх прямых. Четыре попарных пересечения (вместо шести возможных) может получиться только в случае двух пар параллельных прямых, поэтому точки пересечения – это вершины параллелограмма. Наименьшая и наибольшая абсцисса – у противоположных вершин, а полусумма абсцисс каждой пары противоположных вершин равна абсциссе центра параллелограмма. Теперь утверждение очевидно.
Замечания
3 балла
