|
|
 |
Условие
Существует ли такой квадратный трёхчлен f(x), что для любого натурального n уравнение f(f(...f(x))) = 0 (n букв "f") имеет ровно 2n различных действительных корней?
Решение
Например, f(x) = 2x² – 1. Ограничим область определения функции проколотым интервалом D = (–1, 0) ∪ (0, 1). Нарисовав график y = 2x² – 1, увидим, что соответствующая область значений – интервал (–1, 1) и каждое значение принимается ровно два раза. Обозначим f(f(...f(x)) (n букв "f") через fn(x). Ясно, что это многочлен степени 2n и что fn(x) = f(fn–1(x)) = fn–1(f(x)). Докажем индукцией по n, что fn имеет 2n ненулевых корней, принадлежащих D.
База (n = 1): значение 0 принимается дважды.
Шаг индукции. Для каждого из 2n–1 принадлежащих D корней функции fn–1 найдём по две точки, в которых значение функции f равно этому корню. Это и будут корни функции fn (fn–1(a) = 0, f(x) = a ⇒ fn(x) = fn–1(f(x)) = fn–1(a) = 0).
Это – все корни, так как их количество равно степени многочлена.
Ответ
Существует.
Замечания
1. Положим x = cos φ. Тогда f(x) = cos 2φ, f(f(x)) = cos 4φ, ..., f(f(...f(x))) = cos 2nφ. Теперь 2n корней можно указать явно:
xk = cos(π/2n+1 + πk/2n) , k = 0, 1, ..., 2n – 1.
2. 6 баллов.
3. Задача была опубликована в Задачнике "Кванта" ("Квант", 2005, №6, задача М1977).
