Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 86113  (#1)

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Метод координат на плоскости ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

На графике многочлена с целыми коэффициентами отмечены две точки с целыми координатами.
Докажите, что если расстояние между ними – целое число, то соединяющий их отрезок параллелен оси абсцисс.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108094  (#2)

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Окружность, вписанная в угол ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Окружность Ω₁ проходит через центр окружности Ω₂. Из точки C, лежащей на Ω₁, проведены касательные к Ω₂, вторично пересекающие Ω₁ в точках A и B. Докажите, что отрезок AB перпендикулярен линии центров окружностей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65578  (#3)

Тема:   [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Фома и Ерёма делят кучку из 25 монет в 1, 2, 3, ..., 25 алтынов. На каждом ходу один из них выбирает монету из кучки, а другой говорит, кому её отдать. Первый раз выбирает Фома, далее тот, у кого сейчас больше алтынов, при равенстве – тот же, кто в прошлый раз. Может ли Фома действовать так, чтобы в итоге обязательно получить больше алтынов, чем Ерёма, или Ерёма всегда сможет Фоме помешать?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65582  (#4)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Индукция (прочее) ] [ Тригонометрические уравнения ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Существует ли такой квадратный трёхчлен f(x), что для любого натурального n уравнение  f(f(...f(x))) = 0  (n букв "f") имеет ровно 2n различных действительных корней?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65583  (#5)

Темы:   [ Правильные многогранники. Двойственность и взаимосвязи ] [ Вписанные многогранники ] [ Описанные многогранники ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Икосаэдр и додекаэдр вписаны в одну и ту же сферу. Докажите, что тогда они описаны вокруг одной и той же сферы.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями