|
|
 |
Условие
В выпуклом пятиугольнике равны все стороны, а также равны четыре из пяти диагоналей.
Следует ли из этого условия, что пятиугольник – правильный?
Решение
Пусть пятиугольник АВСDE удовлетворяет условию задачи (равны между собой все диагонали, кроме АС, см. рис.). Тогда треугольники АЕD и BCD равны (по трём сторонам), значит, ∠АЕD = ∠BCD. Кроме того, треугольник CDE – равнобедренный, поэтому ∠СЕD = ∠ECD. Значит,
∠АЕC = ∠BCE.
Следовательно, равны треугольники АСЕ и ВЕC (по двум сторонам и углу между ними), значит, АС = ВЕ. Таким образом,
в пятиугольнике равны все диагонали и все стороны, поэтому равны и все углы, то есть пятиугольник – правильный.
Ответ
Следует.
Замечания
Условие равенства всех сторон – избыточное, достаточно равенства четырёх (в данном случае можно было исключить АВ).
